柯西函数方程与选择公理

# 柯西函数方程

# 介绍

囗囗柯西函数方程，式子很简单，对于任意一个实函数$f(x)$,$\forall x,y\in R,有f(x+y)=f(x)+f(y)$, 求解原函数
大部分人会立马回答这是一个过原点的线性函数，抑或是回答$f(x)=f(1)x$
或许聪明的你已经开始尝试证明，在函数连续的基础上，利用导数，有界或单调等手段开始钻研
但或许我们可以停一下，有没有一种可能:$f(x)$ 并不连续呢？
或许有人已经急不可待了，想要看看这个不连续的例子，但先别急，先继续听我讲点废话。

# 关于选择公理

囗囗选择公理，没听说过也无所谓，它是数学中非常神奇且臭名昭著的一条公理，
囗囗大概意思是：对于一定数量的集合 (可以是任意多)，在保证每个集合非空的情况下，我们总是可以从每个集合抓取一个元素来组成一个新的集合
或许你会想，这是一条看似应该成立的公理，就和许多其它基本公理一样，直观的理解还是比较自然的
但其实细想一下，这是一条很 "随便" 的公理，
随便到什么程度呢，比如这个元素的抓法，看起来似乎可以随便抓，但是是怎样个随便法呢？
实际上，这条公理导出的推论会令人频频 "黑人问号脸"，

我们之所以会觉得应该是真的，其实是因为大部分时候我们会代入有限世界的经验来看无穷世界，但问题往往就是这个时候产生的。

囗囗选择公理是如此的抽象，可以做到一种违反物理常识的操作，比如巴拿赫 - 塔尔基斯悖论：把一个皮球切几刀，将碎片重新组合，最终可以得到拼接处和之前大小一模一样的两个皮球。
抑或是良序：选择公理可以把任意集合排成良序 (良序定义：其中任意元素都可以比大小且任何子集都有最小值排序)，这是一种很恐怖的东西，它在处理无限时会超出我们的想象，比如把实数集 R 的一个良序写出来看看，当然，我写不出来，大家都写不出来，但按照选择公理，它就是存在。

囗囗还有一个形象的例子，罗素曾这样比喻过选择公理：“如果有无穷多的鞋，我可以告诉你都穿左脚的那只；可是如果有无穷多双袜子，我们应该怎么选呢？”
囗囗这便是选择公理理解的困难之处，很多集合中的特征我们想象不到，进而依据有限的视角我们也无法对其分类。但是选择公理可以分类，甚至排成良序。现今虽然有一些反直觉的推论，不过大部分人还是愿意选择相信选择公理是真的。

# 选择公理的使用

咳咳好像说远了，接下来我们继续回到问题，提到选择公理的原因是因为它在线性空间中能得到一个很强的结论：任何线性空间都有基 (代数意义下的基)

囗囗此外我们还知道，空间的维度与我们将其看作哪个数域$F$ 上的空间有关，举个简单例子，复数在复数域上的线性空间就是一维的，任何一个非 0 单点集合都是它的基；而在实数域上看它就是二维的，{$1,i$} 是一组基。

到这里聪明的读者可能已经看出端倪了，我们可不可以把实数集看成有理数域上的空间呢？
选择公理说：当然可以，每个基我都可以按良序给你排出来
那这个基长什么样呢？
选择公理说：就不告诉你，话说一半我就跑

囗囗哈哈开个玩笑，依据选择公理我们知道这个基肯定有无穷多个元素，整个空间也是无限维的，但人脑是有限的，没办法把这个基很好的呈现出来，但无论怎么样，有了这个基，我们就能造出不连续的例子了 (终于回到正题了)

# 不连续函数的构造

现在我们开始构造这样一个 "丑陋" 的函数：我们把上一步构造的基的集合称为$Qt$, 取$t$ 属于$Qt$，那么对于任意实数$x$，它的样子有两种可能:
1.$x=qt+q1t1+q2t2+...qntn$
2.$x=q1t1+q2t2+...qntn$ (t 前面不存在有理数$q$)
对于这种情况，我们构造函数$f(x)$，其中
$f(x)=q$ (在 1 的情况下)
$f(x)=0$ (在 2 的情况下)
这时候你会发现，由于表示方式唯一，这种定义的函数$f(x)$ 确实满足$\forall x,y\in R,有f(x+y)=f(x)+f(y)$,
终于，我们大功告成了，但我们对这个函数一无所知，$f(1)=$ 多少？$f(e)$ 又等于多少？
所以我认为这是一个丑陋的函数，或者专业 (装逼) 点说，这是一个不可测的函数

# 一点题外话

或许上面的直接理解会有点困难，你也可以先从简单的入手，比如$a+b\sqrt{2}$ 这种，$f(x)=b$ 或许会好理解一点