# 定义

# 可约与既约

- 假设数域KK 为系数域,f(x)f(x) 为域KKxx 的多项式
- 在多项式f(x)f(x) 能用域 K 因式分解的情况下,f(x)f(x)KK 的范围内称为可约。
- 若非可约,f(x)f(x) 在 K 的范围内称为既约。

在我们讨论多项式能不能因式分解时,重要的是要厘清用哪个域来思考。

eg.多项式x^2 + 1可以因式分解吗?

在实数域上,该多项式是不能因式分解的,即x2+1x^2+1 在实数域上既约;
但如果我们在复数域上来看,x2+1=(x+i)(xi)x^2+1=(x+i)(x-i),即x2+1x^2+1 在复数域上可约。

# 域的扩张

域的扩张在伽罗瓦论文中表述的是‘从某个数开始使用有理式表示’
对于一个我们已知的数域,
例如有理数域QQ,我们可以在QQ 中添加一个2\sqrt 2, 此时原来的数域会扩大,
这个扩大的过程有点类似于从数轴对应到复平面,
我们可以将扩大后的域其使用有理式来表达:a+b2a+b\sqrt 2, 其中a,bQa,b∈Q
而其中在域的扩张阶段可以当作系数使用的数我们称为已知的数

# 置换群

将有限个根排成一列的方法称为排列,
改变根的排列顺序的方法称为置换。
我们考虑置换根的排列顺序,除了一个个单独的置换,伽罗瓦还考虑了置换的集合,他把这个置换的集合称为置换的 groupe,也就是群。

- 把置换想成一个最开始以某种顺序排列的群。
- 因为我们只处理不按照起初顺序排列的问题,
- 所以如果置换STS、T 属于群,置换STST 也会属于这个群。

这里出现的‘不按照起初顺序排列’让人有些难以理解,伽罗瓦在这里思考的是置换群,用现在的话来说,就是对称群的子群。

举一个简单的例子,设有a1a2a3a4a1,a2,a3,a4 按顺序排列,现在我们将这个顺序改为a1a4a2a3a1,a4,a2,a3
[1234]->[1423], 这个置换便是 [1423] (下标11 换成了11,下标22 换成了44,下标33 换成了22,下标44 换成了33)
同理,我们可以让置换作用于根的有理式:

(a1+a2a3)/(a1a4)>(a1+a3a4)/(a1a2)\begin {array}{c} (a1+a2*a3)/(a1*a4) -> (a1+a3*a4)/(a1*a2) \end {array}

这个置换便是 [1342],我们将这类变换简称为 α
伽罗瓦所思考的,便是对有理函数的下标通过 α 进行置换并带入根。

更新于 阅读次数

请我喝[茶]~( ̄▽ ̄)~*

yinguai 微信支付

微信支付

yinguai 支付宝

支付宝