伽罗瓦理论

# 定义

# 可约与既约

# 域的扩张

域的扩张在伽罗瓦论文中表述的是‘从某个数开始使用有理式表示’
对于一个我们已知的数域，
例如有理数域$Q$，我们可以在$Q$ 中添加一个$\sqrt 2$, 此时原来的数域会扩大，
这个扩大的过程有点类似于从数轴对应到复平面，
我们可以将扩大后的域其使用有理式来表达：$a+b\sqrt 2$, 其中$a,b∈Q$
而其中在域的扩张阶段可以当作系数使用的数我们称为已知的数

# 置换群

将有限个根排成一列的方法称为排列，
改变根的排列顺序的方法称为置换。
我们考虑置换根的排列顺序，除了一个个单独的置换，伽罗瓦还考虑了置换的集合，他把这个置换的集合称为置换的 groupe，也就是群。

举一个简单的例子，设有$a1，a2，a3，a4$ 按顺序排列，现在我们将这个顺序改为$a1，a4，a2，a3$
[1234]->[1423], 这个置换便是 [1423] (下标$1$ 换成了$1$，下标$2$ 换成了$4$，下标$3$ 换成了$2$，下标$4$ 换成了$3$)
同理，我们可以让置换作用于根的有理式:

$$\begin {array}{c} (a1+a2*a3)/(a1*a4) -> (a1+a3*a4)/(a1*a2) \end {array}$$

这个置换便是 [1342]，我们将这类变换简称为 α
伽罗瓦所思考的，便是对有理函数的下标通过 α 进行置换并带入根。